按步骤的双重积分

有了正确的积分解答，你会成为小组里最受欢迎的人❤️😊

功能?

• 对由给定曲线围成的区域进行双重积分 (此处), 据此确定积分限与顺序 此处
• 用双重积分计算由曲线围成图形的面积
• 计算已知积分限的累次积分
• 将 ∫∫f(x,y) 表示为累次积分
• 通过双重积分计算薄板质量
• 累次积分的换序 (此处)
• 若适合使用 极坐标 坐标, 则将采用

面积计算

要用双重积分计算面积，将被积函数置为 1. 也可使用下列计算器: 两条曲线所围面积

双重积分示例

如何设定区域 D?

区域 D 可按多种方式设定:

• 用曲线:
  1. 圆
  2. 两条圆
  3. 椭圆
  4. 抛物线
  5. 其他
• 用顶点给出:
  1. 三角形

     A(0, 1)

     B(1, 0)

     C(0, 0)

  2. 正方形
  3. 矩形
• 与 — 象限

用不等式

以不等式形式给出积分区域的限制:

x > pi/2

-1/2 < y <= 3/2

x < sqrt(2)/2 + 1

上述示例还包含:

• 绝对值 或 绝对值: absolute(x) 或 |x|
• 平方根 sqrt(x),
  立方根 cbrt(x)
• 三角函数:
  正弦 sin(x), 余弦 cos(x), 正切 tan(x), 余切 ctan(x)
• 指数函数与指数 exp(x)
• 反三角函数:
  反正弦 asin(x), 反余弦 acos(x), 反正切 atan(x), 反余切 acot(x)
• 自然对数 ln(x),
  常用对数 log(x)
• 双曲函数:
  双曲正弦 sh(x), 双曲余弦 ch(x), 双曲正切与双曲余切 tanh(x), ctanh(x)
• 反双曲函数:
  反双曲正弦 asinh(x), 反双曲余弦 acosh(x), 反双曲正切 atanh(x), 反双曲余切 acoth(x)
• 其他三角与双曲函数:
  正割 sec(x), 余割 csc(x), 反正割 asec(x), 反余割 acsc(x), 双曲正割 sech(x), 双曲余割 csch(x), 反双曲正割 asech(x), 反双曲余割 acsch(x)
• 取整函数:
  向下取整 floor(x), 向上取整 ceiling(x)
• 数的符号:
  sign(x)
• 概率论相关:
  误差函数 erf(x) (概率积分), 拉普拉斯函数 laplace(x)
• 阶乘 x:
  x! 或 factorial(x)
• 伽马函数 gamma(x)
• 朗伯特 W 函数 LambertW(x)
• 三角积分: Si(x), Ci(x), Shi(x), Chi(x)

输入规则

可进行以下运算

2*x

- 乘法

3/x

- 除法

x^2

- 平方

x^3

- 立方

x^5

- 幂运算

x + 7

- 加法

x - 6

- 减法

实数

以如下形式输入 7.5, 不 7,5

常数

pi

- 圆周率

e

- 自然对数的底

i

- 虚数单位

oo

- 无穷符号

这些示例也可用于输入双重积分的上下限.