Mister Exam
化为标准形
有了正确解答，你会成为小组里最受欢迎的人❤️😊
标准形计算器能做什么？
- 根据所给方程求出:
- 二次曲线/曲面的标准方程
- 标准坐标系的基底向量（针对二次曲线）
- 标准坐标系的中心（针对二次曲线）
- 两种方法的详细解法:
- 直接法：平移到新中心并绕新中心旋转（针对曲线）
- 不变量法：计算多种行列式（适用于曲线与曲面）
- 绘制二次曲线，并展示标准坐标系的中心与基底向量构造
示例
- 两条平行直线
9x^2+12xy+4y^2-24x-16y+3=0
- 抛物线
x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0
- 退化椭圆
5x^2+4xy+y^2-6x-2y+2=0
- 椭圆
5*x^2+4*x*y+8*y^2+8*x+14*y+5=0
- 虚椭圆
8063 - 250*y - 10*x + 50*x^2 + 50*y^2
- 椭球面
-243 - 216*z - 18*x + 4*y^2 + 25*x^2 + 36*z^2 + 16*x*y = 0
- 虚椭球面
2*x^2+4*y^2+z^2-4*x*y-4*y-2*z+5=0
- 双叶双曲面
x^2+y^2-z^2-2*x-2*y+2*z+2=0
- 椭圆抛物面
x^2+y^2-6*x+6*y-4*z+18=0
- 两条平行平面
x^2+4*y^2+9*z^2+4*x*y+12*y*z+6*x*z-4*x-8*y-12*z+3=0
- 虚相交直线的方程
x^2 + 4*y^2 = 0
- 双曲线的方程
xy = 1
- 虚平行直线
x^2 - 2x + 17 = 0
- 重合直线
x^2 = 0
y^2 = 0
- 椭球面的标准方程
x^2/4 + y^2/9 + z^2 = 16
z^2 - 6*z - x/2 + y^2/9 + 25*x^2/36 + 4*x*y/9 - 27/4 = 0
- 虚锥面
z^2 + y^2/9 + 25*x^2/36 + 4*x*y/9 - 6*z = 0
- 单叶双曲面
x^2/4 - y^2/9 + z^2 = 16
z^2 + x^2/4 + 2*y/9 + 5*y^2/36 - x*y/2 = 145/9
- 锥面的标准方程
x^2/4 - y^2/9 + z^2 = 0
8*y + 36*z^2 + 18*x*y = 4 + 13*y^2 + 9*x^2
- 双曲抛物面
x^2/4 - y^2/9 = 2*z
4*x^2 + 4*z^2 + 2*y = y^2 + 8*x*z + 32*z + 33
xy = z
- 椭圆柱面
16*x^2 + 25*y^2 - 32*x + 50*y - 359 = 0
x^2 + y^2 - 2x - 2y = 7
- 虚椭圆柱面
5*x^2 + 13*y^2 + 70 = 0
25 - 16*y + 4*y^2 + 16*x^2 + 16*z^2 - 32*x*z = 0
- 相交平面
x^2 - y^2 = 0
16*x^2 - 25*y^2 + 16*z^2 - 32*x*z + 100*y - 100
- 双曲柱面
4*x^2 - 5*y^2 - 8*x + 20*y = 11
xy = 1
- 相交平面
x^2/4 - y^2/16 = 0
-100 - 4*y^2 + 16*x^2 + 16*z^2 + 40*y - 32*x*z
- 抛物柱面
y^2 = 2x
x^2 = -4y
-z^2/9 = x
y = sqrt(2)/2*z^2
10 + y^2 + z^2 - 2*x - 2*y*z
- 虚平行平面
x^2 + 1 = 0
y^2 + 4 = 0
16 + 4*z^2 + 9*y^2 + 16*x^2 - 16*x*z - 12*y*z + 24*x*y = 0
- 重合平面
y^2 = 0
x^2 = 0
4*x^2 + 9*y^2 + 16*z^2 - 24*y*z - 16*x*z + 12*x*y
详细了解 标准形
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二次曲线与曲面方程示例
| 方程 | 标准形 | 类型 | 维度 |
|---|---|---|---|
| 9x^2+12xy+4y^2-24x-16y+3=0 | x^2=1 | 两条平行直线 | 曲线 |
| x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0 | y^2=4*sqrt(2)*x | 抛物线 | 曲线 |
| 5x^2+4xy+y^2-6x-2y+2=0 | x^2/(1/sqrt(2*sqrt(2)+3))^2 + y^2/(1/sqrt(-2*sqrt(2)+3))^2=0 | 退化椭圆 | 曲线 |
| 5*x^2+4*x*y+8*y^2+8*x+14*y+5=0 | x^2/(3/4)^2+y^2/(1/2)^2=1 | 椭圆 | 曲线 |
| 2*x^2+4*y^2+z^2-4*x*y-4*y-2*z+5=0 | z^2/(2/sqrt(2)/sqrt(3-sqrt(5)))^2+x^2/(2/sqrt(2)/sqrt(3+sqrt(5)))^2+y^2/(2/sqrt(2))^2=-1 | 虚椭球面 | 曲面 |
| x^2+y^2-z^2-2*x-2*y+2*z+2=0 | x^2/1^2+y^2-z^2=-1 | 双叶双曲面 | 曲面 |
| x^2+y^2-6*x+6*y-4*z+18=0 | x^2/2+y^2-2*z=0 或 x^2/2+y^2+2*z=0 | 椭圆抛物面 | 曲面 |
| x^2+4*y^2+9*z^2+4*x*y+12*y*z+6*x*z-4*x-8*y-12*z+3=0 | x^2/=1/14 | 两条平行平面 | 曲面 |