Mister Exam
Ridurre alla forma canonica
Con la soluzione giusta diventerai il più amato del gruppo ❤️😊
Cosa sa fare la calcolatrice per la forma canonica?
- Per l'equazione data trova:
- La forma canonica dell'equazione (per linee e superfici di secondo ordine)
- I vettori di base del sistema di coordinate canonico (per le linee di 2° ordine)
- Il centro del sistema di coordinate canonico (per le linee di 2° ordine)
- Soluzione dettagliata in due modi:
- Metodo diretto con passaggio al nuovo centro di coordinate e rotazione attorno al nuovo centro (per le linee)
- Metodo degli invarianti con calcolo di diversi determinanti (per linee e superfici)
- Traccia il grafico di una linea di secondo ordine, il centro del sistema canonico e i vettori di base del sistema canonico
Esempi
- Due rette parallele
9x^2+12xy+4y^2-24x-16y+3=0
- Parabola
x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0
- Ellisse degenere
5x^2+4xy+y^2-6x-2y+2=0
- Ellisse
5*x^2+4*x*y+8*y^2+8*x+14*y+5=0
- Ellisse immaginaria
8063 - 250*y - 10*x + 50*x^2 + 50*y^2
- Ellissoide
-243 - 216*z - 18*x + 4*y^2 + 25*x^2 + 36*z^2 + 16*x*y = 0
- Ellissoide immaginario
2*x^2+4*y^2+z^2-4*x*y-4*y-2*z+5=0
- Iperboloide a due falde
x^2+y^2-z^2-2*x-2*y+2*z+2=0
- Paraboloide ellittico
x^2+y^2-6*x+6*y-4*z+18=0
- Due piani paralleli
x^2+4*y^2+9*z^2+4*x*y+12*y*z+6*x*z-4*x-8*y-12*z+3=0
- Equazione delle rette immaginarie incidenti
x^2 + 4*y^2 = 0
- Equazione dell'iperbole
xy = 1
- Rette parallele immaginarie
x^2 - 2x + 17 = 0
- Rette coincidenti
x^2 = 0
y^2 = 0
- Equazione canonica dell'ellissoide
x^2/4 + y^2/9 + z^2 = 16
z^2 - 6*z - x/2 + y^2/9 + 25*x^2/36 + 4*x*y/9 - 27/4 = 0
- Cono immaginario
z^2 + y^2/9 + 25*x^2/36 + 4*x*y/9 - 6*z = 0
- Iperboloide a una falda
x^2/4 - y^2/9 + z^2 = 16
z^2 + x^2/4 + 2*y/9 + 5*y^2/36 - x*y/2 = 145/9
- Equazione canonica del cono
x^2/4 - y^2/9 + z^2 = 0
8*y + 36*z^2 + 18*x*y = 4 + 13*y^2 + 9*x^2
- Paraboloide iperbolico
x^2/4 - y^2/9 = 2*z
4*x^2 + 4*z^2 + 2*y = y^2 + 8*x*z + 32*z + 33
xy = z
- Cilindro ellittico
16*x^2 + 25*y^2 - 32*x + 50*y - 359 = 0
x^2 + y^2 - 2x - 2y = 7
- Cilindro ellittico immaginario
5*x^2 + 13*y^2 + 70 = 0
25 - 16*y + 4*y^2 + 16*x^2 + 16*z^2 - 32*x*z = 0
- Piani secanti
x^2 - y^2 = 0
16*x^2 - 25*y^2 + 16*z^2 - 32*x*z + 100*y - 100
- Cilindro iperbolico
4*x^2 - 5*y^2 - 8*x + 20*y = 11
xy = 1
- Piani secanti
x^2/4 - y^2/16 = 0
-100 - 4*y^2 + 16*x^2 + 16*z^2 + 40*y - 32*x*z
- Cilindro parabolico
y^2 = 2x
x^2 = -4y
-z^2/9 = x
y = sqrt(2)/2*z^2
10 + y^2 + z^2 - 2*x - 2*y*z
- Piani paralleli immaginari
x^2 + 1 = 0
y^2 + 4 = 0
16 + 4*z^2 + 9*y^2 + 16*x^2 - 16*x*z - 12*y*z + 24*x*y = 0
- Piani coincidenti
y^2 = 0
x^2 = 0
4*x^2 + 9*y^2 + 16*z^2 - 24*y*z - 16*x*z + 12*x*y
Dettagli su Forma canonica
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Esempi di equazioni di linee e superfici di 2° ordine
| Equazione | Forma canonica | Tipo | Dimensione |
|---|---|---|---|
| 9x^2+12xy+4y^2-24x-16y+3=0 | x^2=1 | Due rette parallele | Linea |
| x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0 | y^2=4*sqrt(2)*x | Parabola | Linea |
| 5x^2+4xy+y^2-6x-2y+2=0 | x^2/(1/sqrt(2*sqrt(2)+3))^2 + y^2/(1/sqrt(-2*sqrt(2)+3))^2=0 | Ellisse degenere | Linea |
| 5*x^2+4*x*y+8*y^2+8*x+14*y+5=0 | x^2/(3/4)^2+y^2/(1/2)^2=1 | Ellisse | Linea |
| 2*x^2+4*y^2+z^2-4*x*y-4*y-2*z+5=0 | z^2/(2/sqrt(2)/sqrt(3-sqrt(5)))^2+x^2/(2/sqrt(2)/sqrt(3+sqrt(5)))^2+y^2/(2/sqrt(2))^2=-1 | Ellissoide immaginario | Superficie |
| x^2+y^2-z^2-2*x-2*y+2*z+2=0 | x^2/1^2+y^2-z^2=-1 | Iperboloide a due falde | Superficie |
| x^2+y^2-6*x+6*y-4*z+18=0 | x^2/2+y^2-2*z=0 oppure x^2/2+y^2+2*z=0 | Paraboloide ellittico | Superficie |
| x^2+4*y^2+9*z^2+4*x*y+12*y*z+6*x*z-4*x-8*y-12*z+3=0 | x^2/=1/14 | Due piani paralleli | Superficie |